对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是： 1.求 整数商： c = a/b; 2.计算模或者余数： r = a - c*b. 求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。 例如：计算-7 Mod 4 那么：a = -7；b = 4； 第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）； 第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。 归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。 当符号不一致时，结果不一样。求模运算结果的符号和b一致，求余运算结果的符号和a一致。 另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。

定义

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 ： n = kp + r ； 其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。 对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算： 取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。 模p加法： ，其结果是a+b算术和除以p的余数。 模p减法： ，其结果是a-b算术差除以p的余数。 模p乘法： ，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。 说明： 1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 或者a ≡ b (mod p)。 2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

基本性质

1. 若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
2. (a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
3. 对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)
4. 传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
4. a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

• 结合律： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交换律： (a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律： (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9） ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)， (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （13）